На допомогу вчителю фізики і математики - Міцні горішки

Логічні задачі

  Задача 1.

Серед трьох монет одна фальшива ( легша від двох інших , однакових за вагою). За допомогою одного зважування на терезах без гир визначити фальшиву монету.

Розв’язання

Покладемо на одну з двох шальок терезів по одній монеті. Якщо шальки знаходяться у рівновазі, то монета , яку не зважували, - фальшива, бо у протилежному випадку терези покажуть легшу, тобто фальшиву монету.

Задача 2.

В одній кімнаті знаходяться три вимикачі , а в другій – три лампи. Кожний вимикач обслуговує одну  з лампочок. Як дізнатися, який вимикач з’єднано з якою лампочкою, якщо в кімнату з лампочками можна вийти лише один раз?

Розв’язання

Потрібно ввімкнути один вимикач, почекати деякий  час , потім вимкнути і ввімкнути другий. Після цього зайти в кімнату з лампочками. Та лампочка, що горить, пов’язана з другим вимикачем, а з погашених – тепла пов’язана з першим, холодна – з третім вимикачем.  

Задача 3

Маємо 10 ящиків. У деяких з них лежить по 10 ящиків меншого розміру, а в деяких з менших ящиків лежить ще по 10 ящиків. Скільки всього ящиків, якщо заповнено всього 54 ящики?

Розв’язання

Позначимо число заповнених великих ящиків через х, а число заповнених малих ящиків через у. За умовою х + у = 54. Але число менших ящиків у 10 разів більше, ніж х, а число найменших ящиків у 10 разів більше, ніж у. Отже , загальне число ящиків дорівнює

10 + 10х + 10 у = 10•( 1 + х + у) = 10 •55 = 550.  

Задача 4

Двоє гравців по черзі ставлять на шахову дошку по одному коню. Не дозволяється ставити коня під бій фігури, яку було поставлено раніше ( неважливо, самим гравцем або його супротивником). Той , хто не зможе зробити свій хід , програє. Хто переможе при правильній грі?

Розв’язання

Для перемоги другий гравець має робити ходи, симетричні ходам першого гравця відносно центра дошки.

Задача 5

У рядок написано кілька мінусів. Два гравці по черзі виправляють один або два сусідні мінуси на плюси. Переможе той , хто виправить на плюс останній мінус. Хто переможе при правильній грі – перший гравець чи його супротивник?

Розв’язання

Гравець , який починає , перемагає, розбивши своїм першим ходом мінуси на два « шматки» однакової довжини. Після цього перший гравець може кожним ходом виправляти мінуси, що симетричні тим, які перед цим виправив другий. 

Числа

Задача 1

Що більше 127²³  чи 513¹⁸?

Розв’язання

127²³ < 513¹⁸ = ( 2⁷)²³<2¹⁶² =(2⁹)¹⁸ =512¹⁸ <513¹⁸

Задача 2

Скількома нулями закінчується числа виду 9ⁿ + 1 , якщо n  N?

Розв’язання

Десятковий запис чисел виду  9ⁿ може закінчуватися тільки двома  цифрами : 09; 81; 29; 61; 49; 41; 69; 21; 89; 01. Перевіркою впевнимося, що десятковий запис чисел виду  9ⁿ + 1 закінчується не більше , ніж одним нулем при довільному n .

Задача 3

Довести, що довільну суму, більшу, ніж 7 копійок, можна сплатити три копійчаними і п’ятикопійчаними монетами, не одержуючи здачі.

Розв’язання

Досить перевірити, що три копійчаними і п’ятикопійчаними монетами можна сплатити 8; 9 ; 10 копійок.

8 =3 + 5; 9 = 3 + 3+ 3; 10 = 5+ 5

Задача 4

Знайдіть частку , якщо вона в три рази менша за ділене й у вісім разів більша за дільник.

Розв’язання

Оскільки частка в три рази менше за ділене , то дільник дорівнює 3. Отже, частка дорівнює 24. 

Подільність чисел

Задача 1

Якщо 4373 і 826 поділити на одне й те саме число дістанемо відповідно остачі 8 і 7. Чому дорівнює дільник?

Розв’язання

Якщо від 4373 відняти 8 , а від 826 відповідно 7, то дістанемо числа 4365 і 819, які діляться без остачі на одне й те саме число. Щоб знайти це число, потрібно кожне з цих чисел розкласти на прості множники:

819 = 3· 3· 7· 13

4365 = 3· 3·5 · 97.

Числа мають два спільних дільники 3 і 9 . Умову задачі задовольняє тільки 9, оскільки 9 > 8 ; 9> 7.

Задача 2

Знайти найменше число, яке при діленні на 2 дає остачу 1, при діленні на 3 – остачу 2, на 4 – 3, на 5 – 4, на 6 – 5 , на 7 – 6 , на 8 – 7, на 9 – 8, на 10 – 9.

Розв’язання

 Якщо додати до шуканого числа одиницю , тоді утворене число буде ділитися на 2, на 3 , на  4, на 5 , на 6, на 7 , на 8 , на 9 і на 10.

 Таким найменшим числом буде 10· 9· 4· 7= 2520, а шукане число на 1 менше, тобто 2519.

Задача 3

Добуток двох взаємно простих чисел дорівнює 3232. Чому дорівнює найменше спільне кратне цих чисел?. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

Розклавши 3232 на множники, отримаємо:

3232 = 32· 101= 2·2·2·2·2·101. Оскільки усі двійки мають бути в одному числі, то числа будуть 32 і 101. Оскільки найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їх добутку, то воно буде дорівнювати 3232.

Задача 4

Чи може сума чотирьох послідовних натуральних  чисел дорівнювати  3000?

Розв’язання

Суму чотирьох послідовних натуральних чисел можна представити у вигляді :

n+ ( n+1) + ( n + 2) + ( n + 3) =4n + 6. Число , що ми отримали , не ділиться на 4. Оскільки 3000 ділиться на 4, то сума чотирьох послідовних натуральних чисел дорівнювати 3000 не може.

Задача5

Знайти найменше натуральне число , яке при діленні на 7 дає в остачі 6, а при діленні на 9 остача дорівнює 8.

Розв’язання

В обох випадках – як при діленні шуканого числа на 7, так і при діленні його на 9 – остача на одиницю менша за дільник. Збільшивши ділене на 1, одержимо число, яке ділиться без остачі  й на 7, і на 9. Найменше таке число – 63. Шукане число на 1 менше й дорівнює 62.